Bilgisayarın matematiksel temellerini Alan Turing atmıştır. Turing, David Hilbert’in öne sürdüğü bütün matematiksel teoremler bir programla üretilebilir varsayımından hareketle bir hesaplama düzeneği geliştirdi. Bu düzeneğe Turing Makinesi (TM) adı verildi. “Makine” kâğıt üzerinde tasarlanmıştı ve basit bir işleyiş mantığı vardı. Teorik olarak sonsuz uzunlukta bir bant (teyp bandı gibi düşünülebilir), bandın üzerinde sağa sola hareket edebilen bir okuma-yazma kafası, bir kontrol merkezi ve bir durum kaydedicisinden oluşuyordu. Girdi ve çıktılar bant üzerine okuma-yazma kafası aracılığıyla kaydedilip buradan okunabiliyor; kontrol merkezi verilen bir talimat listesine göre o an bant üzerinde okunan değeri ve kaydedicinin içinde sakladığı durumu değerlendirerek bant üzerinde bir takım işlemler gerçekleştiriyordu. Üç çeşit işlem vardı: okuma-yazma kafasını sağa ya da sola hareket ettirme, bandın üzerine bir şey yazma ve durma. Durma işlemi matematiksel derinliği olan bir problemle ilişkiliydi. Durma problemi adı verilen bu problem oldukça karmaşıktır. Ve aslında TM de bu problemden doğmuştur.

Veriler bant üzerinde bit bit kayıtlıdır. Her bit bir rakam olarak düşünülebilir. Ancak teorik bir düzlemden söz ettiğimiz için bakış açısına göre bitlerin yorumlanışı da değişebilir. Bu durumda bitler, harfler, özel karakterler veya rakamlar olabilir. Önemli olan programın bitleri nasıl yorumladığıdır. Rakamların nasıl işleneceği konusu da duruma göre değişir. İkilik veya başka sayı sistemleri kullanılabilir. Kontrol merkezi yani program, okuma-yazma kafasından gelen veriyi ve kaydedicinin durumunu değerlendirir. Durum, önceki işlemlere göre şekil aldığı için program belli bir akışı takip edebilir. Örneğin bant üzerindeki veriler …111101111… şeklinde olsun. Programa 1’leri gördüğü sürece sağa doğru ilerlemesi, 0’ı gördüğü anda durumunu değiştirmesi söylenebilir. Durum değiştikten sonra karşılaşılan 1’ler önceki birlerden farklı şekilde değerlendirilecektir. Mesela tümü sıfır yapılabilir. Bu durumda sonuç şöyle olur: …111100000… Bu örnekte bitler birlik sistemde yorumlanmıştır. Birlik sistem, abaküs mantığına benzer. Her sayının karşılığı sayı kadar 1 rakamıdır. Sayılar büyüdüğünde sistem yetersizleşir.

TM’ye basit bir giriş yaptıktan sonra ilk program örneklerine göz atacağız. İşleyişi anlamak için vereceğimiz ilk program örneği birlik sistemde bir sayıya 1 eklemek:

0 A 0 A R
1 A 1 B R
1 B 1 B R
0 B 1 A S

Bir komut beş parçadan oluşur: [Anlık bit] [Anlık durum] [Yeni bit] [Yeni durum] [Hareket]. İlk komut olan 0 A 0 A R üzerinden açıklanırsa, ilk iki birim komutun çalışması için gereken şartlardır. Bunları takip eden üç birim şartın gerçekleşmesi halinde işletilir. Yani komut makineye 0 biti ile A durumunda iken karşılaşırsan biti yine 0 yap, durumunu koru ve bir sağa kay (R) demektedir. Anlaşılan zararsız bir komut bu. Ancak bu kadar basit görünmesine aldanmamak gerekir. Bu komut olmazsa program asla çalışmaz! Bu bir çeşit başla emridir. Komutun sonundaki ifade okuma-yazma kafasının ne yapacağını belirtir. Buna göre kafa ya sağa bir kayar (R), ya sola bir kayar (L) ya da durur (S). Her programın işini bitirdikten sonra güvenli şekilde durması gerekir. Durmayan program bize sonucu asla veremez. Örneğin bir sayının sıfıra bölünmesi teorik olarak bir durma problemi yaratabilir. Programı incelemeye devam etmeden önce bit dizisini gözümüzün önüne şöyle getirelim:

…0000011100000…

Birinci komut 0 gördüğü sürece kafayı sağa doğru kaydırır ve durumu muhafaza eder. 1 ile karşılaşıldığında durum da A olduğu için ikinci komutun şartları sağlanmış olur ve böylece durum B’ye geçip kafa bir sağa kayar. Bundan sonra 0 ile karşılaşıncaya kadar üçüncü komut tekrar edecektir. B durumunda iken 0 ile karşılaşıldığında ise son komut sihirli dokunuşu yaparak bu biti 1’e çevirir yani birlik sistemde gösterilmiş örnek girdimiz olan 3’ü 4 yapar ve yapılacak başka bir iş kalmadığı için de durur. Son görüntü şöyledir:

…00000111100000…

Birlik sistem basit olsa da büyük sayılar kullanmak gerektiğinde 1’lerin sayısının artması işlemleri pratikte yavaşlatır. Tabii TM bilgisayar ortamında simüle edilmek isteniyorsa. İkilik sistemin yorumlanması daha çok komut ve karmaşık bir programlama gerektirir ancak hız açısından çok büyük bir ivme kazandırır. Aslında bazı işlemlerin ikilik sistemde yapılması birlik sistemden daha kolaydır. Örneğin ikilik sistemdeki bir sayıyı iki ile çarpmak için sayının sağına bir sıfır eklemek yeterlidir. Birlik sistemde sıfır bant boyunca birlerin etrafını saran rakamlardı. Birlerin dışında kalıyorlardı. İkilik sistemde ise sıfırlar en az birler kadar önemlidir. Birlik sistemin gösterimindeki sıfırlardan farklı bir roldedirler. Birlik sistem gösteriminde sıfırların yaptığı boşluğu temsil etme görevini burada başka bir karakter yapmalıdır. Örneğin space (boşluk) kelimesini çağrıştırmak üzere s harfi bunun için seçilebilir. Bu durumda ikilik sistemle kodlanmış bir veri bantta şöyle görünebilir:

…sssss101sssss…

İkilik sistemde bir sayıya bir ekleyen program birlik sisteme göre biraz daha karmaşıktır:

s A s A R
1 A 1 B R
1 B 1 B R
0 B 0 B R
s B s C L
0 C 1 A S
1 C 0 D L
1 D 0 D L
0 D 1 A S
s D 1 A S

Programda üç farklı durma komutu tanımlanmıştır. Yani program farklı şekillerde sonlanabilir. İlk üç komut birlik sistemde verilen örnekteki ilk üç komutla aslen aynıdır. Genellikle bu üç komut bütün programlarda bir açılış prosedürüdür.

Örnek olarak verilen programlar da dâhil olmak üzere bu mantıkla yazılabilecek her bir program bir TM’dir ve programın komutlarının örneğin ikilik sisteme çevrilerek yan yana dizilmesiyle elde edilecek bir sayı bu TM’yi temsil eder. Her bir sayının TM karşılığı var mı yok mu bakılmak istenebilir. Böylece çok karmaşık TM’leri rastgele bulabiliriz. Hayat ne güzel! …öyle mi acaba? Yukarıda sözünü ettiğim durma problemi işte tam da bu noktada gündeme gelir ve her şeyi darmadağın eder. Rastgele sayıların TM karşılıklarını incelemek güzel bir düşüncedir. Ancak bazı TM’ler saçma sapan olacaktır. Bazılarında okuma-yazma kafası yerinden oynamayacak, bazıları hareket etse de hemen sebepsizce duracaktır. Bunlar zararsız olanlarıdır. Bazı TM’ler ise asla durmaz. Ve işin kötüsü TM’nin kısır bir döngüye mi girdiğini yoksa o anda Aynştayn’ın görelilik teorisini mi incelediğini asla bilemeyiz. Çünkü bilmemiz için programın tam olarak durması gerekir.

Teorik olarak bir durma ile sonuçlanan her işlem TM ile ifade edilebilir. Bu da demek olur ki, dört işlemden türev-integral hesaplamaya kadar bir algoritma ile ifade edilebilecek her şeyin TM karşılığı mutlaka vardır. Tek bir bant ve tek bir durum kaydedicisi programlamayı zorlaştırıyorsa da modern bir bilgisayarla yapabilip de TM’de gerçekleyemeyeceğiniz hiçbir şey yoktur. TM bilgisayarın işleyiş biçiminin anlaşılması açısından çok önemlidir. Kendi programlarınızı yapmaya başladığınızda bilgisayarın içinde neler olup bittiğini daha iyi anlayabileceksiniz. Bu amaçla hazırladığım TM simülatörünü buradan indirebilirsiniz. (Şifre: euzkan.wordpress.com)

kitaplar ünlü yazar ve şairlerin kelimeleriyle doludur. cümle yapıları onların okuyucuyu “tavlamak” isteyen ya da yalnızca sanat yapmak için kullandıkları üslubun etkisiyle şekillenmiştir. yani çoğunlukla filtrelenmiş, düzeyli, seçkinci ve rafine bir dilden söz ediyorum. oysa halk genellikle başka bir dilde konuşur. bir eleştiri günlük hayatta sıradan insanların çok az kelime kullandığı yönündedir. fakat günlük hayatın gereği budur ve böyle olmak zorundadır. kim daha kısa bir yol varken uzununu tercih eder ki? az kelime kullanmak veya bazı bilinçli gramer ihlalleri yapmak çoğu kez bizim dille iletişim kurarken daha az çaba sarf etmemizi sağlar. hatta dilin evriminde önemli bir yere sahip olan “en az çaba ilkesi” de bunu destekler. o halde marifet sıradan bir günün sıradan bir telefon konuşmasında daha çok kelime kullanmak değil, en az kelime ve sürede meramını anlatabilmektir.

günlük dil günlük yaşamın, yani hayatın bizzat kendisinin matematiksel bir yansımasını içinde barındırır. sakin bir gün ile yorucu bir günün, seçilen kelimelere, kullanılan kelime sayısına, gramer ihlal oranlarına etkisi de farklı olmalıdır. ancak internetle birlikte yerleşen bir yazışma kültürü de vardır ki, bu kültür günlük hayatı şekillendirir hale gelmiştir. dil hassasiyeti olan birçok insan internet dilinin yozluğundan şikayet eder. ve önemli bir kısmı da katı kurallarla müdahale etmenin, yasaklamanın ve eğitimin buna çözüm olabileceğini sanır. oysa gözden kaçan önemli bir nokta vardır. suç internette değildir. internet yalnızca iletişimi sağlayan bir araçtır. eğer dumanla haberleşme de bu kadar hızlı olsaydı, insanlar binlerce yıl öncesinden böyle bir iletişim yaşayacak ve dil de bundan payını alacaktı. dilin doğal gelişimi birkaç kişinin seyrini etkileyebileceği bir süreç değildir. fakat türkiye gibi sıradışı bazı coğrafyalarda bir sabah uyandığınızda bazı kelimelerin yasaklandığı, ve ambalajından çıkmış yeni kelimelerin onların yerini aldığını görebilirsiniz. kimi kelimeler tutar (yargı, bağlam, soyut, türev), kimileri ise ucube olarak kalır (yanıt, bay, saylav, söylev).

edinilmiş kültürün ve yerleşmiş estetik değerlerin etkisiyle bir kelimeyi normal veya anormal şeklinde değerlendirmek son derece doğaldır. yazım hatalarının yaygınlığı onları gelecekte birer kural haline getirebilir ve bir sonraki nesil buna hiç de tuhaf bakmaz. bu her zaman bir yozlaşma değildir. kitap okumak önemsizdir, günlük dil daha yücedir gibi saçma bir düşünceyi savunmuyorum. ya da dildeki kuralları unutun nasılsa değişecekler de demiyorum. vurgulamaya çalıştığım şey dilin çok sayıda insan tarafından var edilen ve yaşatılan karmaşık bir organizma olduğu ve doğal bir seyirde yaşayıp gittiği. her ne kadar bize itici gelse de birçok internet kullanıcısı eğlence’ye “eylence”, değil’e “deyil” demeye, de da bağlaçlarını ısrarla bitişik yazmaya devam ediyorlar. acaba bu yalnızca bir eğitim sorunu mu yoksa doğal bir değişime mi tanıklık ediyoruz? şimdi kullandığımız birçok kök ve ek türkçenin geçmişinde farklı şekillerdeydi. genetik değişimler biyolojik değişimlere yol açtı. ağız, çene, dil yapısı değişime uğradı ve bazı sesleri daha sık bazılarını daha az çıkarır olduk. böylece bazı sesler kaybolmaya başladı. bunun yanında öteki dillerin ve kültürlerin de dilin evrimine etkisi azımsanmayacak düzeydedir.

dilin en gerçekçi fotoğrafını çekmek için ironik şekilde kurallar yerine pratiğin önemli olduğu günlük dile odaklanılmalıdır. bir dili salt ayıklanmış kelimelerden oluşturulan metinlerin temsil etmeyeceği açıktır. insanlar zincire vurularak esaret altına alınsa da dildeki kelimeleri tutuklamak kolay değildir. çünkü dilin köklerini saldığı coğrafya yani zihinler, kıtalardan çok daha fazla yer kaplar.

Zihinleri birbirine asgari anlam unsuruyla bağlamayı hedefleyen dil, iletişimi başlatan kişinin haberi şekillendirme ve ifade etme gücü karşısında oldukça alçakgönüllü olmalıdır. Dil bir ortak kabullenmeler ve antlaşmalar bütünüdür. Adeta zihinleri birbirine anlatmaya çalışan bir arabulucudur. Zihin ise hiçbir sınırlama ya da kural kabul etmez. Ancak ikilem şudur ki, zihni bu derece güçlü ve bağımsız kılan soyutlayışa dil ile ulaşırız. Kavramlar arasındaki karmaşık ilişkileri dil olmadan ifade etmek mümkün müdür? Yanıt, sorudaki mantık hatasında gizlidir. “İfade etmek” ancak dil ile gerçekleştirilebilir. Peki, o halde soruyu şöyle soralım: Zihinde gerçekleşen soyutlamayı dilden bağımsız hale getirebilir miyiz? Buna bir yanıt aramadan önce soyutlamanın ne olduğuna bakalım.

Senaryo: İnsanlar güçlü bir dile sahip olmadıkları zamanlarda doğayla kurdukları iletişimi her nesil yeniliyorlardı. Nesnelere isim vermek, hatta sıfatlarla onları nitelemek ve temel fiillerle haberi oluşturmak doğanın bilgisine ulaşmak için yeterli değildi. Dilden bağımsız olan doğanın sistematiğini özümseyen bir yapı gerekiyordu. Bu yapı, o âna kadar aslında görünen gerçeğin ilkel bir takipçisi olmuş dilin içinden çıkacak ve dili de, onu yaratan zihni de şekillendirecekti. Algının kanallarından akıp durmakta olan verilerin bilgi makamına çıkarılmasını sağlamak için ilk basit adım atılmıştı. Nesneleri tanımak, nitelendirmek ve basit haberleri iletebilmek güçsüz bir dille mümkündü. Ancak algı yokken ya da eksikken haberi nasıl üretecek ve değerlendireceklerdi? Dilleri haberi ancak gerçekle doğrudan bir ilişkiye girerek edinmelerine ya da iletmelerine izin veriyordu. Varsayamıyorlardı ya da şeylerin durumlarını tasarlayamıyorlardı. İşte insanlık bunu başardığında çok büyük bir adım atmış oldu. Artık aktarılabilir bilgiye sahiptiler. Artık tasarılar da birer haber olabilirdi. Bu, düşüncenin doğması demekti. Böylece doğayı izlediler, öğrendiler, tasarladılar ve tecrübeleriyle tasarılarını sınayıp bilgiye ulaştılar. Ve bilimin geleneğine uygun şekilde bir şeyin başkalarınca tekrar keşfedilmesine gerek bırakmamak için bilgiyi hem aralarında yatay olarak hem de yetiştirdikleri nesillerle zamanda dikey olarak yaydılar.

Şimdi soruya geri dönelim. Üst düzey zihinsel işlevler, sınırlandırılmış ve konuşucuların ortalaması olmak gibi faydalı bir görevi üstlenmiş bir dil dışında gerçekleştirilebilir mi? Matematikçiler bununla ilgili bir girişimde bulunmuşlardı. Tabii bunu akıl yürütmeyi matematiğe yükleyerek gerçekleştirmeye çalışmışlardı. Ancak gözden kaçan şey, mantığı ve akıl yürütmeyi belirleyen zihnin deterministik olmayan bir sistemle yani dille üretilmiş olduğuydu.

Dil olmasaydı düşünce bugünkü karmaşıklığıyla var olabilir miydi? Yoksa dilden bağımsız bir düşünüş gücü mü dili doğurdu? Kısacası zihin mi dilden çıktı, dil mi zihinden?

Rasgelelik, sayı dizisi üzerinde herhangi bir rakamın gelme olasılığının önceki rakamlara bağlı olmamasıdır. Ve bütün rakamların sayı dizisinde bulunma olasılığı birbirine eşit olmalıdır. Aksi takdirde bir sistemden söz ediyor olacaktık. Ancak Pi sayısının bir irrasyonel sayı olduğunu biliyoruz. O halde Pi sayısının rasgele bir sayı olduğunu neden söylemeyelim. Ha tam da şu anda matematik devreye girse de, kuşku bırakmayacak şekilde bir ispat sunabilsem, ancak buna matematiğim yetmiyor ne yazık ki. Önermelerin uyumundan yola çıkarak mantık yürütmeyle kabul ediyorum ki Pi sayısı irrasyonel ve rasgele. Deneysel sonuçlar da beni buna götürüyor. Bakın mesela Pi sayısının ilk 6 milyar basamağındaki rakamların frekans dağılımı şöyle:

0 – 599,963,005 kez
1 – 600,033,260 kez
2 – 599,999,169 kez
3 – 600,000,243 kez
4 – 599,957,439 kez
5 – 600,017,176 kez
6 – 600,016,588 kez
7 – 600,009,044 kez
8 – 599,987,038 kez
9 – 600,017,038 kez

Eğer aldığımız Pi sayısının uzunluğunu 6 milyar basamaktan sonsuz basamağa doğru götürürsek frekanslar birbirine yaklaşır, eşitleşme eğilimine girer. Limit bilgimiz bunu fısıldıyor kulağımıza.

Peki, bunlar iyi güzel de, buradan neye varırız? Buradan, eğer yeteri kadar uzun bir Pi sayısı dizisi alırsak, bu dizinin, içinde bütün rakam örüntülerini içermesi gerektiğine ulaşırız. Örüntüyle kastedilen, rakamla ifade edilebilecek her türlü bilgidir. Bu, sizin telefon numaranız da olabilir, ad ve soyadınızın rakamla kodlanmış hali de, hatta diziyi yeterince uzatırsak üniversite son sınıfta yazdığınız bitirme tezinizin virgülü noktasına kadar tamamı da. Bunlar yeterince akla uygun sonuçlar. Ama biz yeterince uzun bir Pi sayısı dizisinin içinde her şeyin olabileceği sonucuna ulaşmamış mıydık? Öyleyse, dizi içinde, bizim henüz yazmadığımız bir aşk mektubundan tutalım da, en sevdiğimiz dizilerin gelecek sezonlarının senaryo metinlerine ve gelecek hafta çekilecek sayısal loto sonuçlarına dek her türlü sır, bizim onları bulmamızı bekliyor olamaz mıydı?  İşte bu nokta da işin magazini. Ama bu saçma sorunun yanıtı evet olmalı! Yalnız hayati bir ayrıntıyı kaçırmamamız gerekli. O ayrıntı da şu: sonsuz uzunluktaki rasgele bir dizinin içinde her türlü örüntü bulunmalı fakat ona ulaşmak için onu bilmemiz gerekli! İşte hayatın formülünü ve her türlü sırrı tam da yakalayacakken bir paradoks daha çıkıyor ve bizi mat ediyor.

Bu durum, gözümde şöyle bir metaforu canlandırıyor: Karşımızda sonsuz odası olan bir otel var. Ve elimizde de sonsuz sayıda anahtar. Biliyoruz ki odalardan birinde her şeyin mânâsı gizli. Ancak hazine deneme-yanılma ile bulunamayacak; bu kesin.

Yine de bizi zenginleştiren platonik bir aşktır Pi. Asla nakaratı olmayan bir şarkıdır. (http://www.avoision.com/experiments/pi10k/pi10k.html). İnsanı biraz daha paranoyak yapan siyah beyaz bir filmdir. Pi, içinde her şeyi saklayan bir gizemdir.

Size, belli örüntüleri bulmayı denemeniz için Pi sayısının ilk bir milyon basamağını buradan veriyorum. İçinde her türlü altı rakamlık kombinasyonu bulmanızı garanti edebilirim eğer yanlış hesaplamıyorsam. Ama siz yine de dikkatli olun, karşınıza Pi’nin bilinemezlerle dolu karanlık, sisli vadisinden bir canavar çıkmasın! Hepinize bol Pi’li günler…